Distance d'arrêt selon différents facteurs

La distance d’arrêt  \(D_A\) d'une voiture dépend de deux composantes :

• la distance de réaction  \(D_R\) qui est influencée par l'état du conducteur (santé, fatigue, taux d'alcoolémie, etc.) ;
  
• la distance de freinage qui est liée à la vitesse, à l’adhérence de la route, à la masse et à l’état du véhicule.
  

Distance totale d’arrêt = Distance de réaction + Distance de freinage

Problématique   Un conducteur roule sur une nationale où la vitesse est limitée à 90 km/h. Sachant que les conditions météorologiques sont favorables et que le conducteur se trouve dans un état optimal, quelle distance lui sera nécessaire pour s'arrêter ?

Partie A   Représentation graphique de la distance de réaction en fonction de la vitesse

Dans la perle « Distance d'arrêt - Représentation graphique  » , sont tracées :

• la fonction  `f_1(x)`  : distance de réaction \(D_R\)  (en m) pour un état « normal  » du conducteur en fonction de la vitesse \(v\)  (en m/s) de la voiture ;
  
• la fonction  `f_2(x)`  : distance   de réaction \(D_R\)  (en m) pour un état « fatigué  » du conducteur   en fonction de la vitesse \(v\)  (en m/s) de la voiture.
  

1. Quelle est la nature de ces deux fonctions ?

2. Combien vaut le coefficient directeur dans chacun des cas ?

Partie B   Représentation graphique de la distance parcourue pendant le temps de freinage en fonction de la vitesse

1. Dans le fichier GeoGebra de la partie A :

• créer un curseur  data-formula et un curseur  \(b\) comme « nombre » tels que chacun varie entre –0,05 et 1,5 avec un pas de 0,01 ;
  
• créer la fonction `g_1(x)=ax²`  ;
  
• créer la fonction   `g_2(x)=bx²` .
  

Aide   Vous pouvez consulter « Comment créer un curseur dans GeoGebra - Méthode ».

2. Faire varier  `a`  et choisir les bonnes réponses :

    a. La valeur du curseur est positive ; la fonction est croissante puis décroissante.

    b. La valeur du curseur est positive ; la fonction est décroissante puis croissante.

    c. La valeur du curseur est négative ; la fonction est croissante puis décroissante.

    d. La valeur du curseur est négative ; la fonction est décroissante puis croissante.

3. Faire varier \(b\) . Que remarquez-vous sur les valeurs des images?

4. Conclusion : si on note la fonction sous la forme `f(x)=kx²` , que peut-on dire sur la courbe représentative de la fonction selon la valeur de  `k`  ?

5. Fixer \(a=0,07\)   ( route sèche) et  \(b=0,08\)  (route mouillée).

    a. Déterminer graphiquement la valeur de la distance de freinage pour une voiture roulant à 90 km/h sur une route sèche.

    b. Déterminer graphiquement la valeur de la distance de freinage pour une voiture roulant à 90 km/h sur une route mouillée.

Partie C  Représentation graphique de la distance d'arrêt en fonction de la vitesse

On rappelle que : \(D_A=D_R+D_F\) .

1. Tracer la représentation graphique de la  fonction :  `h_1(x)=f_1(x)+g_1(x)` .

2. En déduire graphiquement la distance d'arrêt pour un conducteur roulant dans un état normal sur une route sèche à une vitesse de 90 km/h.